Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则=，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案．
解答：解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O的位置关系是相切；

（2）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD===，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴=
∴FD=
∴AF=AD-FD=5-=．
点评：本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求AF的长的问题转化成求相似三角形的问题是关键．