Question

【题目】如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（ ）

A.5B.C.5或D.6

Answer 1

【答案】B

【解析】

分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.

解：若△APQ∽△ABC，

∴∠APQ=∠ABC，

∴PQ∥BC，，

∴∠PDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠PBD=∠CBD，

∴∠PBD =∠PDB，

∴PB=PD，同理，DQ=CQ，

∵，，，

∴BC=，

设AP=x，根据得,

∴AQ=，

∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，

∴PQ=PD+QD=，

∴，即，

解得：x=，

∴PQ=；

若△APQ∽△ACB，

则，

由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，

可知四边形AMDN为正方形，

∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，

∴AM∥DN，AN∥DM，

∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，

∴△MPD∽△NDQ，

∴，

∵AB=8，AC=6，BC=10，

∴DM=DN==2，

∴AM=AN=2，

设PM=x，则，

∴NQ=，

∵，即，

解得：x=或-2（舍），

∴AP=+2=，

∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.

综上：PQ的值为.

故选B.