题目内容
观察下列各式：
（x2-1）÷（x-1）=x+1
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1
…
（1）写出（x6-1）÷（x-1）的结果；
（2）将x6-1表示成两个多项式乘积的形式．
（x2-1）÷（x-1）=x+1
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1
…
（1）写出（x6-1）÷（x-1）的结果；
（2）将x6-1表示成两个多项式乘积的形式．
分析：（1）观察各式，可得出规律（xn-1）÷（x-1）=xn-1+xn-2+…+1，再将n=6代入即可得出结果；
（2）根据整式乘除法与因式分解互为逆变形的关系，即可求解．
（2）根据整式乘除法与因式分解互为逆变形的关系，即可求解．
解答：解：（1）∵（x2-1）÷（x-1）=x+1，
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1，
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1，
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1，
∴（xn-1）÷（x-1）=xn-1+xn-2+…+1，
∴（x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1；
（2）∵（x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1，
∴x6-1=（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）．
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1，
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1，
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1，
∴（xn-1）÷（x-1）=xn-1+xn-2+…+1，
∴（x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1；
（2）∵（x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1，
∴x6-1=（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1）．
点评：本题考查了整式的除法，关键在于根据各式发现规律（xn-1）÷（x-1）=xn-1+xn-2+…+1．
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