Question

5．已知a，b，c为正数，若二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，求证：方程a²x²+b²x+c²=0有两个不相等的负的实数根．

Answer 1

分析 由二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，得到△₁=b²-4ac≥0，于是得到（b²-4ac）（b²+4ac）=b⁴-4a²c²≥0，推出方程a²x²+b²x+c²=0有两个实数根，设方程a²x²+b²x+c²=0的实数根为x₁，x₂，求得x₁+x₂=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$＜0，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$＞0，于是得到结论．

解答 证明：∵二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，
∴△₁=b²-4ac≥0，
∵a，b，c为正数，
∴b²+4ac＞0，
∴（b²-4ac）（b²+4ac）=b⁴-4a²c²≥0，
∴方程a²x²+b²x+c²=0有两个实数根，
设方程a²x²+b²x+c²=0的实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$＜0，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$＞0，
∴方程a²x²+b²x+c²=0有两个不相等的负的实数根．

点评 本题考查了根的判别式，解决本题的关键是能够结合一元二次方程的根与系数的关系判断方程根的符号．