Question

3．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0）和点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若抛物线的顶点为P，连接PC并延长与x轴相交于点M，x轴上另一点N，若S_△PMN=4S_△POC，求点N的坐标；
（3）在上述条件下，在抛物线或坐标轴上是否存在点G，使△GMC与△OPC相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，把点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）的坐标代入得到方程组求解即可；
（2）先根据抛物线的解析式得到抛物线的顶点P的坐标，再根据待定系数法得到直线PC的解析式，令y=0，得到点M的坐标，再根据S_△PMN=4S_△POC，得到
MN的长，进一步得到点N的坐标；
（3）分点G在x轴上，点G在y轴上，点G在抛物线上三种情况讨论即可求解．

解答 解：（1）把点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式y=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的顶点P为（-1，-4），
设直线PC的解析式为y=kx+b，把点P（-1，-4），C（0，-3）的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
故直线PC的解析式为y=x-3，
令y=0，则x=3，即M（3，0），
∵S_△PMN=4S_△POC，
∴$\frac{1}{2}$MN×4=4×$\frac{1}{2}$×3×1
解得MN=3，
∴N（0，0）或N（6，0）；
（3）如图所示：

故G（5，0）或G（12，0）或G（0，-5）或G（0，-12）或G（-2，-3）或（3，12）．

点评 考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定的难度．