Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30°，AB=6，P是AB上的一点，过点P的直线折叠此三角形，使点A的对称点落在BC边上，则AP的取值范围是12$\sqrt{3}$≤PA≤3．

Answer 1

分析 设点A的对应点为点A′，由翻折的性质可知：PA=PA′，由垂线段最短可知PA′⊥BC时，PA′最短即PA有最小值，当点A′与点B或点C重合时，PA有最大值．然后画出图形进行计算即可．

解答 解：设点A的对应点为点A′，由翻折的性质可知：PA=PA′．

①如图①，当点A′与点B或点C重合时，PA有最大值．PA=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$；
②如图②，当PA′⊥BC时，PA有最小值．
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{AC}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AC=3$\sqrt{3}$．
∵A′P⊥BC，AC⊥BC，
∴A′P∥AC．
∴△A′BP∽△CBA．
∴$\frac{A′P}{CA}=\frac{PB}{AB}$．
设：PA=PA′=x，则PB=6-x，
∴$\frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{6-x}{6}$．
解得：x=12$\sqrt{3}$-18．
∴12$\sqrt{3}$≤PA≤3．
故答案为：12$\sqrt{3}$≤PA≤3．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值以及相似三角形的性质的应用，根据题意画出图形是解题的关键．