Question

在等腰△ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：

（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？

Answer 1

解：如图所示，

（1）∵点A在⊙D上，且AD为中线，AB=AC；
∴AD⊥BC，BD=AD=DC，
∴∠2=∠ABD=∠1=∠ACD=45°，
∴∠BAC=90°，
即顶角A为90°时，点A在⊙D上．

（2）∵点A₁在⊙D内，
∴∠3＞∠1，∠4＞∠2，
∴∠3+∠4＞∠1+∠2，
即∠BA₁C＞∠BAC；
∴当顶角的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部．

（3）与（2）同理，当顶角A的度数大于0°且小于90°时点A在⊙D的外部．
分析：直径所对的圆周角是直角，因而根据三角形的外角大于任何一个不等于0的内角，进而可以根据直径所对的角与圆周角的大小判断点与圆的位置关系．
点评：本题实际上是给出了一个判断点与圆的位置关系，是需要熟记的内容．