Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B(4，0)，C(0，﹣2)，对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；

（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，S最大值为；（3）存在，P1(﹣3+，0)，P2(﹣3﹣，0)，P3(6，0)，P4(2，0)

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数解析式；

（2）由抛物线的对称性质求得A（-2，0），则AB=6；当点N运动t秒时，BN=2t，则AN=6-2t，过点M作MD⊥x轴于点D，构造直角三角形，由三角形的面积公式列出函数关系式，利用配方法求得最大值；

（3）需要分三种情况讨论，用平移的知识先求出点Q的横坐标，然后推出点P的坐标．

（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．

∴A（﹣2，0），则AB＝6，

当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，

如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．

∵OA＝OC＝2，

∴△OAC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°．

又∵DM⊥OA，

∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，

当点M运动t秒时，AM＝t，

∴MD2+AD2＝AM2＝t2，

∴DM＝，

∴，

∵，

∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；

（3）存在，理由如下：

①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴yB﹣yC＝yQ﹣yP＝2，xB﹣xC＝xQ﹣xP＝4，

∵yP＝0，

∴yQ＝2，

将y＝2代入，

得 x1＝，x2＝，

∴当xQ＝时，xP＝；当xQ＝时，xP＝，

∴P1（，0），P2（，0）；

②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，

∵yP＝yB＝0，

∴yQ＝yC＝﹣2，

将y＝﹣2代入，

得 x1＝0（舍去），x2＝2，

∴xQ＝2时，

∴xP﹣xB＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝6，

∴P3（6，0）；

③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，

由②知，xQ＝2，

∴xB﹣xP＝xQ﹣xC＝2，

∴xP＝2，

∴P4（2，0）；

综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．