Question

18．如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
（1）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=40°，∠C=30°，则∠DAE=5°；
（3）若∠B-∠C=40°，则∠DAE=20°；
（4）由（1）、（2）、（3）请猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系为∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和得出∠BAC，再根据角平分线定义得出∠BAE，利用互余得出∠BAD，最后解答即可；
（2）根据三角形内角和得出∠BAC，再根据角平分线定义得出∠BAE，利用互余得出∠BAD，最后解答即可；
（3）根据三角形内角和得出∠BAC，再根据角平分线定义得出∠BAE，利用互余得出∠BAD，最后解答即可；
（4）由（1）（2）（3）推理可得三者关系．

解答 解：（1）∵∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-80°-40°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°，
∵AD⊥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=10°，
∴∠DAE=30°-10°=20°；
（2）∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-40°-30°=110°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=55°，
∵AD⊥BC，∠B=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠DAE=55°-50°=5°；
（3）∵∠B-∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-（∠B-40°）=140°-2∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=70°-∠B，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=90°-∠B-（70°-∠B）=20°；
（4）由（1）和（2）（3）可得：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
故答案为：（2）5°；（3）20°；（4）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和和角平分线的定义进行分析．