Question

8．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．

（1）如图1，当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当∠AOB=70°，∠BOC=60°时，∠MON=35°（直接写出结果）．
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON=$\frac{1}{2}α$（直接写出结果）．
（4）从（1）（2）（3）的结果中，你能看出什么规律？

Answer 1

分析 （1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（4）由前三个即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如图2，
∵∠AOB=70°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=70°+60°=130°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=65°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-30°=35°．   
故答案为：35°．
 
（3）如图3，∠MON=$\frac{1}{2}$α，与β的大小无关．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-$\frac{1}{2}$β=α+$\frac{1}{2}$β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α           
即∠MON=$\frac{1}{2}$α，
故答案为：$\frac{1}{2}$α．
（4）∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，与∠BOC的大小无关．

点评 本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC