Question

“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别3和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

x+y= 4 3 xy=1

，
消去y化简得：3x²-4x+3=0
∵b²-4ac=16-36=-20＜0
∴故方程

 

．∴满足要求的矩形B

 

（填不存在或存在）．
若已知矩形A的边长分别为10和1，请仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B．若存在，求矩形B的长和宽，若不存在，说明理由．
（2）如果矩形A的边长为a和b，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？并求此时矩形B的长．

Answer 1

分析：（1）因为判别式＜0，故方程无解，不粗在矩形．假设存在，根据另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一可列出方程组求解．
（2）设此时矩形B的长是x，宽是y，根据周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一列出方程组，让判别式＞0，并求出长．

解答：解：（1）无解；不存在．…（2分）；
设长是x，宽是y，

x+y= 11 3 xy= 10 3

，

x=2 y= 5 3

，
存在矩形B，它的长为2，宽为

5

3

…（6分）
（2）设此时矩形B的长是x，宽是y，

x+y= a+b 3 xy= ab 3

，
当a²+b²≥10ab时，矩形B存在，…（11分）
此时它的长

a+b+ a2+b2-10ab

6

，…（13分）

点评：本题考查理解题意的能力，关键知道矩形B是矩形A的周长和面积的三分之一，从而可列方程组，求解的情况．