Question

已知：如图，圆O的半径OC垂直于弦AB，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB．
（1）求证：PA是圆O的切线；
（2）如果PC=

2

，∠P=30°，求阴影部分面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由半径OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为劣弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到∠BAC为∠AOC的一半，而AC为∠BAP的平分线，得到∠BAC为∠BAP的一半，可得出∠AOC=∠BAP，在直角三角形中两锐角互余，等量代换得到∠OAB+∠BAP为90度，即∠OAP为直角，可得出AP为圆的切线；
（2）由∠P为30度得到∠AOP为60度，可得出三角形OAC为等边三角形，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半得到OA为OP的一半，可得出C为OP中点，由PC的长求出圆的半径长，利用扇形面积公式求出扇形OAC的面积，用三角形OPA的面积减去扇形OAC的面积即可求出阴影部分的面积．

解答：（1）证明：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为

AB

的中点，即

AC

=

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠COA，
∵AC为∠BAP的平分线，
∴∠BAC=

1

2

∠BAP，
∴∠COA=∠BAP，
∵∠COA+∠OAB=90°，
∴∠BAP+∠OAB=90°，即∠OAP=90°，
∴AP为圆O的切线；
（2）∵Rt△AOP中，∠P=30°，
∴OA=

1

2

OP，∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，即OA=OC=AC，
∴C为OP的中点，即OA=OC=PC=

2

，OP=2

2

，
根据勾股定理得：AP=

6

，
∴S_阴影=S_△AOP-S_扇形AOC=

1

2

×

2

×

6

-

60π×( 2 )2

360

=

3

-

π

3

．

点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，以及扇形的面积求法，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．