Question

3．已知线段AB为⊙O的直径，线段AC为⊙O的弦，∠CAB的角平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC，交AC的延长线于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）连接OE交AD于F，若AE=8，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{8}{13}$，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，BC，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得，DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）连接BD，由OD∥AE，证得△AEF∽△DOF，由相似三角形的性质可得OD，再利用相似三角形的判定定理证得△ADE∽△ABD，利用相似三角形的性质可得AD．

解答 （1）证明：连接OD，BC，如图1，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，如图2，
∵$\frac{AF}{AD}$=$\frac{8}{13}$，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{8}{5}$，
∵OD∥AE，
∴△AEF∽△DOF，
∴$\frac{AE}{OD}=\frac{AF}{DF}$，
即$\frac{8}{OD}=\frac{8}{5}$，
∴OD=5，
∴AB=10，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∴∠AED=∠ADB，
∵∠CAD=∠DAB，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AD}{10}=\frac{8}{AD}$，
∴AD=4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质、勾股定理，注意构建直角三角形，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．