如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.且其中一个根为另一个根的2倍.则称这样的方程为“倍根方程 .以下关于倍根方程的说法.正确的是②③(写出所有正确说法的序号)①方程x2-x-2=0是倍根方程．②若=0是倍根方程.则4m2+5mn+n2=0,③若点(p.q)在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③（写出所有正确说法的序号）
①方程x²-x-2=0是倍根方程．
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m²+5mn+n²=0；
③若点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，则关于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax²+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，则方程ax²+bx+c=0的一个根为$\frac{5}{4}$．

分析 ①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，得到方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，∴m+n=0或4m+n=0于是得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，得到pq=2，解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，故∴③正确；④由方程ax²+bx+c=0是倍根方程，得到x₁=2x₂，由相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，∴
得到抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，于是求出x₁=$\frac{5}{3}$，故④错误．

解答解：①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①错误；
②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；
③∵点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正确；
④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴设x₁=2x₂，
∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，故④错误．
故答案为：②③．