Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足

△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）

∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，

∴抛物线的解析式是y=x²﹣3x．                              

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），

得：4=4k₁，解得：k₁=1     ∴直线OB的解析式为y=x，

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，

∴x﹣m=x²﹣3x，    

∵抛物线与直线只有一个公共点，   ∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，                                               

此时x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2， 

∴D点的坐标为（2，﹣2）．                                 

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），

∴4k₂+3=4，解得：k₂=，    ∴直线A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，    ∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，

∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，    解得：n₁=﹣，n₂=4（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（﹣，）．            

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，

则N₁（，），B₁（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，    ∴△P₁OD∽△N₁OB₁，

∴，    ∴点P₁的坐标为（，）．

将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（，），

综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．