Question

如图，AB是半圆O的直径，且AB＝，矩形CDEF内接于半圆，点C，D在AB上，点E，F在半圆上．

（1）当矩形CDEF相邻两边FC︰CD＝︰2时，求弧AF的度数；

（2）当四边形CDEF是正方形时：

①试求正方形CDEF的边长；

②若点G，M在⊙O上， GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的长．

Answer 1

解：（1）连结FO，根据圆的对称性，矩形CDEF内接于半圆可得CO＝OD，

∴Rt△COF中，FC︰CD＝︰1，∴∠FOC=60°

∴弧AF的度数为60°

（2）① ∵四边形CDEF是正方形，∴FC=2CO -- 分

∵FC²＋CO²=，解得CO＝2，∴CF＝4，正方形的边长为4  

② 连结OG，OM，∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，∴DH＝HG，HN＝MN

在Rt△OGH中，，设DH＝x，则

解得x＝2 或x＝－4（舍去）

在Rt△OMN中，，设HN＝y，

∴，解得（舍去负值）

∴