题目内容

如图，分别取反比例函数 $数学公式$ 图象的一支，等腰中Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y轴于C，∠AOC=60°

（1）将△AOC沿y轴折叠得△DOC，试判断D点是否存在 $数学公式$ 的图象上，并说明理由．
（2）连接BD，求S_{四边形OCBD}．
（3）若将直线OB向上平移，分别交 $数学公式$ 于E点，交 $数学公式$ 于F点，在向上平移过程中，是否存在某一时刻使得EF=2？若存在，试求此时直线EF的解析式；若不存在，说明理由．

解：（1）如图1，分别过点A、B作AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴与F，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOE=90°-60°=30°，
∵OA=2，
∴AE=1，OE= $\text{[math]}$ ，
∴A（- $\text{[math]}$ ，1），
∴k₂=- $\text{[math]}$ ，
同理可得，k₁= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ，
∵A、D关于y轴对称，
∴D（ $\text{[math]}$ ，1），代入y= $\text{[math]}$ 成立，
∴D点是否存在 $\text{[math]}$ 的图象上；

（2）过点B作BP⊥OD于点P，
∵△AOC≌△DCO，
∴∠AOC=∠DOC=60°，
∵∠BOF=30°，
∴∠BOP=30°，
∴OB是∠DOF的平分线，
∴BP=BF，
∵∠COA=60°，∠OAC=45°，
∴∠OCA=∠FCB=75°，
∵∠BOD=30°，OA=OB，OA=OD，
∴OB=OD，
∴∠BDP=75°，
∴∠BDP=∠BCF，
∴∠DBP=∠CBF，
在△BDP与△BCF中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△BDP≌△BCF，
∴S_△BDP=S_△BCF，
在Rt△OPB与Rt△OFB中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴Rt△OPB≌Rt△OFB，
∴S_{四边形OCBD}=2S_△OFB=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ；

（3）∵点E在反比例函数y=- $\text{[math]}$ 的图象上，
∴设E（a，- $\text{[math]}$ ）（a＜0），
∵EF∥OB，EF=OB=2，
∴四边形OBFE是平行四边形，
∵O（0，0），
∴B（1， $\text{[math]}$ ），F（a+1， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∵点F在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴（a+1）（- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴a²-a-1=0，
∴a₁= $\text{[math]}$ （舍去），a₂= $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），F（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
设过EF两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线EF的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
分析：（1）分别过点A、B作AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴与F，由∠AOC=60°可知∠AOE=30°，再由OA=2，可求出AE、OE的长，故可得出A点坐标，进而得出k₂的值，同理可求出k₁的值，再由A、D关于y轴对称可得出D电1坐标代入 $\text{[math]}$ 进行检验即可；
（2）过点B作BP⊥OD于点P，由图形反折变换的性质可知△AOC≌△DCO，故∠AOC=∠DOC=60°，进而可判断出OB是∠DOF的平分线，所以BP=BF，由全等三角形的判定定理可知△BDP≌△BCF，故S_△BDP=S_△BCF，同理可得Rt△OPB≌Rt△OFB，故S_{四边形OCBD}=2S_△OFB；
（3）根据点E在反比例函数y=- $\text{[math]}$ 的图象上可设出E点坐标为（a，- $\text{[math]}$ ），由平行四边形的性质可用a表示出出B，F两点的坐标，再根据点F在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上可得到关于a的一元二次方程，求出a的值可知E、F两点的坐标，再用待定系数法求出直线F的解析式即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、反比例函数的性质等相关知识，难度较大．