Question

14．给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形，下列说法：
（1）如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是菱形
（3）在（2）中增加条件∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，则中点四边形EFGH是正方形
其中，正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，可得EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，进而得到中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC，BD，判定△BPD≌△APC，即可得到AC=BD，据此可得EF=HG=$\frac{1}{2}$AC=EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，即可得出中点四边形EFGH是菱形；
（3）根据∠APB=∠CPD=90°，可得AC⊥BD，进而得出EH⊥EF，即∠HEF=90°，据此可得菱形EFGH是正方形．

解答 解：如图①，连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=$\frac{1}{2}$AC，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故（1）正确；

如图②，连接AC，BD，
∵PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，
∴∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AC=BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=$\frac{1}{2}$AC=EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴四边形EFGH是菱形，故（2）正确；

在（2）中增加条件∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，
由△BPD≌△APC，可得∠CAP=∠DBP，
∵△ABP中，∠PAB+∠ABD+∠DBP=90°，
∴∠PAB+∠ABD+∠CAP=90°，
∴AC⊥BD，
由点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH∥BD，EF∥AC，
∴EH⊥EF，
即∠HEF=90°，
∴菱形EFGH是正方形，故（3）正确，
故选：D．

点评 本题考查的是中点四边形，三角形的中位线定理、菱形的判定、正方形的判定．解题时注意：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．