Question

在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．

Answer 1

分析：首先假设出BD，CD的长度，再利用勾股定理得出a+b与b的乘积为2000，再利用三角形三边关系得出20＜a+b＜100，进一步得出a+b的值．

解答：解：设BD=a，CD=b，（a，b为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB=AD=40，BE=DE=

a

2

．
∵AE2=402-(

a

2

)2，AE2=602-(

a

2

+b)2，
∴402-(

a

2

)2=602-(

a

2

+b)2，
∴（a+b）b=2000=2⁴×5³，
∵20＜a+b＜100，
∴只有

a+b=2×52 b=23×5

或

a+b=24×5 b=52.

故BC的长为50或80．

点评：此题主要考查了数的整除性知识，以及勾股定理的应用和三角形三边关系，题目综合性较强．