Question

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作

AC

，在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、

AC

都相切，则⊙O的周长等于（　　）

• A．

  4

  9

  π
• B．

  2

  3

  π
• C．

  4

  3

  π
• D．π

Answer 1

分析：连接OB并延长与

AC

交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD，由三角形ABC为等边三角形得到BA=BC，且∠ABC=60°，再由以B为圆心，AB为半径作

AC

，得到BE=BA=BC=2，根据对称性得到∠ABE=30°，由AB与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BOD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OD等于OB的一半，设OD=OE=x，可得出OB=2x，由BO+OE=BE=2，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆O的半径，即可求出圆O的周长．

解答：解：连接OB并延长与

AC

交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD，
∵△ABC为等边三角形，以B为圆心，AB为半径作

AC

，
∴∠ABC=60°，BA=BC=BE=2，
由对称性得到：∠ABE=30°，
∵AB为圆O的切线，
∴OD⊥AB，
在Rt△BOD中，∠ABE=30°，设OD=OE=x，
可得OB=2x，
∴OB+OE=BE，即2x+x=2，
解得：x=

2

3

，即圆O的半径为

2

3

，
则圆O的周长为

4

3

π．
故选C．

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．