Question

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，点O是斜边AB上的一个动点，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，在线段OB上取一点E，使OE=OD，过点E作EF⊥ED，交射线AC于点F，交射线BC于点G．
（1）如图（1），求证：△ADE∽△AEF；
（2）设OA=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当CG=2时，求线段AF的长．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性质和平行线的性质可以得到∠ADE=∠AEF，而∠A=∠A，由此即可证明△ADE∽△AEF；
（2）首先利用勾股定理求出BC，然后利用平行线分线段成比例得到

AO

AB

=

AD

AC

=

OD

BC

，接着由AO=x得到AD=

4

5

x，OD=

3

5

x，由OD=OE的OE=

3

5

x，所以AE=

8

5

x，最后利用（1）的结论和相似三角形的性质即可解决问题；
（3）有两种情况：
①当点G在线段BC上，如图1，由（1）得到

AD

AE

=

DE

EF

，AE=

8

5

x，AD=

4

5

x，接着得到EF=2DE，然后利用已知条件可以证明△FED∽△FCG，最后利用相似三角形的性质即可求出FC=4，也就求出AF；
②当点G在边BC的延长线上，（备用图）．方法和①一样求出CG，然后求出AF．

解答：（1）证明：∵OD=OE∴∠ODE=∠OED（1分）
∵OD∥BC∴∠ODA=∠ACB
∵∠ACB=90°∴∠ODA=90°（1分）
∵EF⊥ED∴∠FED=90°（1分）
∴∠ADE=∠AEF（1分）
∵∠A=∠A∴△ADE∽△AEF（1分）

（2）解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10
∴BC=6（1分）
∵OD∥BC∴

AO

AB

=

AD

AC

=

OD

BC

∵AO=x∴AD=

4

5

x，OD=

3

5

x
∵OD=OE∴OE=

3

5

x
∴AE=

8

5

x（1分）
∵△ADE∽△AEF
∴

AE

AF

=

AD

AE

=

DE

DF

∴

8 5 x

y

=

4 5 x

8 5 x

（1分）
∴y=

16

5

x(0＜x≤

25

4

)（2分）

（3）解：当点G在线段BC上，图1：
∵

AD

AE

=

DE

EF

，AE=

8

5

x，AD=

4

5

x
∴EF=2DE
∵∠FED=90°∠GCF=90°
∴∠FED=∠GCF
∵∠F=∠F
∴△FED∽△FCG（1分）
∴

EF

FC

=

DE

CG

∵CG=2∴FC=4
∴AF=4+8=12（1分）
当点G在边BC的延长线上，（备用图）
同理可求得FC=4
∴AF=8-4=4（2分）
∴当CG=2时，线段AF的长为12或4．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也考查了勾股定理及求函数解析式，综合性比较强，解题的关键是多次利用相似三角形的性质与判定解决问题．