题目内容
(2013•青铜峡市模拟)已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)当PQ∥BC时,我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似,那么可得出关于AP,AB,AQ,AC的比例关系,我们观察这四条线段,已知的有AC,根据P,Q的速度,可以用时间t表示出AQ,BP的长,而AB可以用勾股定理求出,这样也就可以表示出AP,那么将这些数值代入比例关系式中,即可得出t的值.
(2)求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值,底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来.关键是高,可以用AP和∠A的正弦值来求.AP的长可以用AB-BP求得,而sinA就是BC:AB的值,因此表示出AQ和AQ边上的高后,就可以得出y与t的函数关系式.
(3)我们可通过构建相似三角形来求解.过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,那么PNCM就是个矩形,解题思路:通过三角形BPN和三角形ABC相似,得出关于BP,PN,AB,AC的比例关系,即可用t表示出PN的长,也就表示出了MC的长,要想使四边形PQP'C是菱形,PQ=PC,根据等腰三角形三线合一的特点,QM=MC,这样有用t表示出的AQ,QM,MC三条线段和AC的长,就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值.
(2)求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值,底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来.关键是高,可以用AP和∠A的正弦值来求.AP的长可以用AB-BP求得,而sinA就是BC:AB的值,因此表示出AQ和AQ边上的高后,就可以得出y与t的函数关系式.
(3)我们可通过构建相似三角形来求解.过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,那么PNCM就是个矩形,解题思路:通过三角形BPN和三角形ABC相似,得出关于BP,PN,AB,AC的比例关系,即可用t表示出PN的长,也就表示出了MC的长,要想使四边形PQP'C是菱形,PQ=PC,根据等腰三角形三线合一的特点,QM=MC,这样有用t表示出的AQ,QM,MC三条线段和AC的长,就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,AB=
,
由题意知:AP=5-t,AQ=2t,若PQ∥BC,则△APQ∽△ABC,
∴
=
,∴
=
,
∴t=
.所以当t=
时,PQ∥BC.
(2)过点P作PH⊥AC于H.
∵△APH∽△ABC,
∴
=
,
∴
=
,
∴PH=3-
t,
∴y=
×AQ×PH=
×2t×(3-
t)=-
t2+3t.
(3)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,
若四边形PQP'C是菱形,那么PQ=PC.
∵PM⊥AC于M,
∴QM=CM.
∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.
∴
=
,∴
=
,
∴PN=
,
∴QM=CM=
,
∴
t+
t+2t=4,解得:t=
.
∴当t=
s时,四边形PQP'C是菱形.
BC2+AC2 |
由题意知:AP=5-t,AQ=2t,若PQ∥BC,则△APQ∽△ABC,
∴
AQ |
AC |
AP |
AB |
2t |
4 |
5-t |
5 |
∴t=
10 |
7 |
10 |
7 |
(2)过点P作PH⊥AC于H.
∵△APH∽△ABC,
∴
PH |
BC |
AP |
AB |
∴
PH |
3 |
5-t |
5 |
∴PH=3-
3 |
5 |
∴y=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
3 |
5 |
(3)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,
若四边形PQP'C是菱形,那么PQ=PC.
∵PM⊥AC于M,
∴QM=CM.
∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.
∴
PN |
AC |
BP |
AB |
PN |
4 |
t |
5 |
∴PN=
4t |
5 |
∴QM=CM=
4t |
5 |
∴
4 |
5 |
4 |
5 |
10 |
9 |
∴当t=
10 |
9 |
点评:本题考查了图形结合的动态题,是近几年考试热点,同时考查三角形相似知识,是一道很好的综合题.本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点.
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