Question

【题目】如图1，某人用一张面积为S的三角形纸片ABC剪出一个△EFP，记△EFP的面积为T，已知E、F、P分别是△ABC三边上的三点，且EF∥BC.

（1）如图2，当P与B重合，设分别等于、、时，△PEF的面积分别为、、.

① = ，= ，= ；

② 写出的求解过程；

（2）如图3，当点P是△ABC边BC上的任意一点时（点P可与B或C重合），设， 试求出与、S的函数关系式；

（3）请探究T是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①S，，；②见解析；（2），理由见解析；（3）T存在最大值，当k=时，.

【解析】(1)由等高可推出面积比等于底边之比，进而推出三角形面积；

（2）点P在BC上的任意一处，连BF，由EF∥BC，得△BEF与同高等底，因此，由（1）可知：△AEF∽△ABC，可得︰S=︰1，即=S·，

由AE︰AB=k︰1，得AE︰BE=k︰（1-k），故︰=k︰（1-k），即k·=（1-k）·，所以k︰T=（（1-k）S，化简可得.

(3) 由（2）可知T=-（-k）S,求抛物线的顶点坐标可得.

解：（1）①=S，=，=S；

②如图∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AEF∽△ABC，

又∵，

∴，

∴=S.过F作FD⊥AB于D，

∵FD·BE，，

由于AE︰AB=3︰4，

∴AE︰BE=3︰1，

∴，

∴=，=S.

（2）当时，，理由如下：

如图，点P在BC上的任意一处，连BF，

∴EF∥BC，△BEF与同高等底，

∴，

由（1）可知：△AEF∽△ABC，

设AE︰AB=k︰1，

︰S=︰1，

∴=S·.

又∵AE︰AB=k︰1，则AE︰BE=k︰（1-k），

︰=k︰（1-k），k·=（1-k）·，k︰T=（（1-k）S

T=（1-k）kS即T=-（-k）S；

（3）由（2）可知T=-（-k）S=-（-k+-）S=-S（k-）+，

∴T存在最大值，当k=时，.