题目内容
【题目】（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.
①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；
②求证：△EBD∽△DCF.
（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
（3）（探索）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示）
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【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.
【解析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；
②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；
（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM△CDN可得BD=CD；
（3）【探索】由已知不难求得C△ABC=AB+BC+CA=2AB+2OB=2(m+mcosα)，则需要用m和α的三角函数表示出C△AEF，C△AEF=AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则C△AEF=AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得.
（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，
∵AE=4，
∴BE=2，则BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；
②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°
∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴△EBD∽△DCF
（2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，
∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，
∴DM=DG=DN，
又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，
∴△BDM△CDN，
∴BD=CD，
即点D是BC的中点，
∴
;
（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，
则∠BGO=∠CHO=90°，
∵AB=AC，O是BC的中点
∴∠B=∠C，OB=OC，
∴△OBG△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°α，
则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，
∵∠EOF=∠B=α，
则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，
则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,
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