题目内容

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD= $数学公式$ OB时，求⊙O₁的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE= $\text{[math]}$ ，OE= $\text{[math]}$ ．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴ $\text{[math]}$ ，∵OD=y+5，∴ $\text{[math]}$ ．
∴y关于x的函数解析式为： $\text{[math]}$ ．
定义域为： $\text{[math]}$ ．

（2）当BD= $\text{[math]}$ OB时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴x=6．
∴AE= $\text{[math]}$ ，OE= $\text{[math]}$ ．
当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2， $\text{[math]}$ ．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6， $\text{[math]}$ ．
⊙O₁的半径为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

（3）存在，当点C为 $\text{[math]}$ 的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为 $\text{[math]}$ 的中点时，∠BOC=∠AOC= $\text{[math]}$ ∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB= $\text{[math]}$ ，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．

分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得 $\text{[math]}$ ，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（2）当BD= $\text{[math]}$ OB时，根据（1）的函数关系式求得y= $\text{[math]}$ ，x=6．分两种情况来解答O₁A的值①当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2；②当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6；
（3）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC= $\text{[math]}$ ∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB= $\text{[math]}$ ，然后由三角形的内角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解．