Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图像与y轴交于点A，对称轴是直线x=，以OA为边在y轴右侧作等边三角形OAB，点B恰好在该抛物线上。动点P在x轴上，以PA为边作等边三角形APQ（△APQ的顶点A、P、Q按逆时针标记）。
（1）求点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）当点P 在如图位置时，求证：△APO≌△AQB；
（3）当点P在x轴上运动时，点Q刚好在抛物线上，求点Q的坐标；
（4）探究：是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）B（），y=-x2++2； （2）“略”； （3）Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F ∵∠ABQ=90°，∠BAO=60° ∴∠AFQ=30°， ∴AF=2AB=4，OF=2 即F（0，-2）把F（0，-2），B（，1）代入y=kx+b得k=，b=-2 ∴直线BQ解析式为：y=x－2， 解方程组：     解得：，（舍去） 当Q与B重合时，Q的坐标为（） ∴满足条件的点Q坐标为：（，-6）； （4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行， ①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， ②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， 综上，P的坐标为（，0）或（）。