Question

一块空地，如图，AC=BC，∠ACB=90°，∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，在△ADC中种红花，△DCE中种紫花，△BCE中种黄花，红花、紫花、黄花每平方米要投入8元、10元、12元，问共需投入多少元？

Answer 1

分析：把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△AFC，根据旋转的性质可得AF=BE，CF=CE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，再求出∠DAF=90°，利用勾股定理列式求出DF，再求出∠DCF=45°，从而得到∠DCF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△DCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而求出AE的长，根据等腰直角三角形的性质求出斜边AB上的高，然后分别求出三个三角形的面积，便不难求出总投资．

解答：解：如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
把△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△AFC，
则AF=BE=44，CF=CE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∴∠DAF=45°+45°=90°，
在Rt△ADF中，DF=

AF2+AD2

=

42+32

=5m，
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠DCF=∠ACF+∠ACD=∠BCE+∠ACD=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
在△DCF和△DCE中，

CF=CE ∠DCF=∠DCE CD=CD

，
∴△DCF≌△DCE（SAS），
∴DE=DF=5m，
∴AB=AD+DE+BE=3+5+4=12m，
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴斜边AB边上的高为

1

2

AB=

1

2

×12=6m，
S_△ADC=

1

2

×3×6=9m²，S_△CDE=

1

2

×5×6=15m²，S_△BCE=

1

2

×4×6=12m²，
∴总投入为：8×9+10×15+12×12=72+150+144=366元．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．