Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB ， D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC ， 交直线MN于E ， 垂足为F ， 连CD、BE ．

（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB=＝∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE＝AD．

（2）

解答：解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD＝BD，

∵CE＝AD，

∴BD＝CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴CD＝BD，

∴四边形BECD是菱形．

（3）

解答：解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，

理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，

∴AC＝BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．

【解析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD ， 根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的判定与性质(若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积)，还要掌握菱形的判定方法(任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形)的相关知识才是答题的关键．