题目内容
【题目】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC ， 对角线BD平分∠ABC ， P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ， PN⊥CD ， 垂足分别为M ， N ． 
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】
（1）
解答：证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中， 
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB．
（2）
解答：证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°，
∴PM＝MD，
∴四边形MPND是正方形．
【解析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD ， 由全等三角形的性质即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
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