Question

7．如图，已知抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴和A、B、C三点的坐标；
（2）写出并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．
（2）把点A坐标代入y=ax²-5ax+4中即可解决问题．
（3）分三种情况讨论：
①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P₁N的长，即可求出P₁的坐标；
②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP₂的长，求出P₂的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；
③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P₃CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P₃K的长，可得P₃坐标．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²-5ax+4可知C（0，4），对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
则BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）

（2）把点A坐标代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-$\frac{1}{6}$，
故y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4．

（2）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=$\frac{5}{2}$．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P₁AB．
则AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=$\sqrt{A{{P}_{1}}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{80-（5.5）^{2}}$=$\frac{\sqrt{199}}{2}$，
∴P₁（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{199}}{2}$ ）．
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=$\sqrt{P{{B}_{2}}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{80-\frac{25}{4}}$=$\frac{\sqrt{295}}{2}$，
则P₂=（ $\frac{5}{2}$，$\frac{8-\sqrt{295}}{2}$）．
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CP₃K=∠ABQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽Rt_△BAQ．
∴$\frac{{P}_{3}K}{CK}$=$\frac{BQ}{AQ}$=$\frac{1}{2}$．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，
∴P₃（2.5，-1）．

点评 此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性属于中考压轴题．