Question

【题目】如图，在中，点是边上（端点除外）的一个动点，过点作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接、．

那么当点运动到何处时，四边形是矩形？并说明理由．

在的前提下满足什么条件，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明）

Answer 1

【答案】（1）当点运动到中点时，四边形是矩形，理由详见解析；（2）在的前提下，满足时，四边形是正方形，理由详见解析.

【解析】

（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．

（2）由（1）得出四边形AECF是矩形，再由平行线得出AC⊥EF，得出四边形AECF是菱形，即可得出结论．

当点运动到中点时，四边形是矩形；理由如下：

如图所示：

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

∵是的外角平分线，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四边形是矩形．

在的前提下，满足时，四边形是正方形；理由如下：

∵由得：当点运动到的中点时，四边形是矩形，

∵，当时，

∴，

∴，

∴四边形是菱形，

∴四边形是正方形．