Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12

【解析】

（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；

（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；
（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣2a＝﹣，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；

（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），

函数对称轴为：x＝=1，

∵CE∥AB

∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），

则DE的中垂线为：x＝＝3，

当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，

故点P（3，﹣）；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：

解得：

∴直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

故点P作y轴的平行线交BC于点H，

设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3）；

四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝3×6+HP×OB＝9+×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9= ，

∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．