题目内容
【题目】在菱形
中，
为直线
上的点，
为直线
上的点，分别连接
，
，且
．
（1）若
，点在线段上，点在线段的延长线上，如图①，易证：
（不需证明）；
（2）如图②，若∠B＝120°，点在线段上，点在线段的延长线上，如图③，猜想线段
，
和
之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．
【答案】（1）见解析；（2）②结论：
；③结论：
，证明见解析
【解析】
（1）连接AC，过P作PE∥CD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，得出△ACD是等边三角形，∠PDQ=120°，由PE∥CD，得出△APE是等边三角形，∠PEC=120°，由AAS证得△PCE≌△PQD，得出PE=DQ，AP=DQ，即可得出结论；
（2）①结论：．如图②中，延长
到
，使得
，连接
．只要证明
是等边三角形，
即可解决问题；
②结论：．如图③中，在
上截取
，连接．只要证明
是等边三角形，即可解决问题；
解：（1）证明：连接AC，过P作PE∥CD交AC于E，如图①所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，∠PDQ=120°，
∴AC=AD，∠DAC=∠ACD=60°，
∵PE∥CD，
∴∠AEP=∠ACD=60°，∠APE=∠ADC=60°，
∴△APE是等边三角形，∠PEC=120°，
∴AE=PE=AP，
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠Q，
∵∠ACD=∠ECP+∠PCQ，∠ADC=∠DPQ+∠Q，
∴∠ECP=∠DPQ，
在△PCE和△PQD中，
，
∴△PCE≌△PQD（AAS），
∴PE=DQ，
∴AP=DQ，
∴DQ+PD=AP+PD=AD=AB；
（2）②结论：．
理由：如图②中，延长到，使得，连接．
四边形
是菱形，
，
，
都是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
③结论：．
理由：如图③中，在上截取，连接．
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
