Question

【题目】如图，点是轴非负半轴上的动点，点坐标为，是线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转90°得到点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线与直线相交于点，连接，，设点的横坐标为．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的面积为，当点在线段上时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当为何值时，取得最小值．

Answer 1

【答案】(1)M(1，2)；(2) ；(3) 当时，取得最小值

【解析】

（1）过作于，分别求和的长即可；

（2）易证，可得：，，分别表示和的长，代入面积公式可求得与的关系式；并求其的取值范围；

（3）根据（2）得线段长，由勾股定理用表示和的长，计算其和，再根据二次根式的意义得出当时，值最小．

解：（1）如图1，过作于，

，

当时，，

是的中点，

是的中点，

，是的中位线，

，

；

（2）点是由点绕点顺时针方向旋转90°得到的

，，

∴，

又，

，

令得，.

，

综上所述，即为所求.

（3）由（2）得，，，，

由勾股定理得：，

，

，

当时，有最小值．