Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（x＞0）。
（1）△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在_______；
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值。

Answer 1

解：（1）x，D点；
（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2； ②分两种情况： Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM， ∵∠FNC=∠FCN=30°， ∴FN=FC=6-2x， ∴GN=3x-6， 由于在Rt△NMG中，∠G=60°， 所以，此时y=x2-（3x-6）2=， Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， ∵EC=6-x， ∴y=（6-x）2=；
（3）当0＜x≤2时， ∵y=x2在x＞0时，y随x增大而增大， ∴x=2时，y最大=； 当2＜x＜3时， ∵y=，在x=时，y最大=； 当3≤x≤6时， ∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小， ∴x=3时，y最大=， 综上所述：当x=时，y最大=。