Question

如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.

   （1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.

     请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

 

 

Answer 1

（1）；（2）设P（a,）,则F（a, 8），∵ D(0,6) ∴ PD=, ∴ PD-PF=2，

（3）P(a, )，， ∴ S_△=,

,   ∵ -8≤a≤0  ∴ 4≤S_△≤13，

∴ 三角形面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小时的好点包含这11个之内，所以好点共11个；周长最小即PD+PE最小即可, ∵ PD=PF+2, 

∴ PF+PE之和最小即可，所以此时P、E、F三点共线，此时P（-4,6）,

综上，11个好点，P（-4,6）.