Question

4．如图，抛物线y=（x-1）²+n与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，且∠ADQ=∠DAC，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标．
（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直线AD的解析式即可解决问题．
（3）分两种情形①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA=∠DAC，满足条件．②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA=′CAD，满足条件，分别求解即可．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）²+n，得，-3=（0-1）²+n，
解得n=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，-3）．

（2）连接PA、PC、PD

∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称
∴PC=PD
∴AC+PA+PC=AC+PA+PD…（5分）
∵AC为定值，PA+PD≥AD
∴当PA+PC的值最小，即A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，
由y=（x-1）²-4=0解得，x₁=-1，x₂=3，
∵A在B的左侧，∴A（-1，0），
由A，D两点坐标可求得直线AD的解析式为y=-x-1，
当x=1时，y=-x-1=-2，
∴当△PAC的周长最小时，点P的坐标为（1，-2），

（3）如图2中，

①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA=∠DAC，满足条件．
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-3x-3，
∴直线QD的解析式为y=-3x+3，
令y=0得x=1，
∴Q（1，0）．
②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA=′CAD，满足条件，
∵直线AD的解析式为y=-x-1，
∴线段AD的中垂线是解析式为y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{4}}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{9}{4}$），
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{7}{3}$，
令y=0得到x=-7，
∴Q′（-7，0）．
综上所述，Q点坐标为（1，0）或（-7，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．