Question

已知等腰△ABC中，AD为底边BC上的高，E为射线AD上一点，若满足△ABE，△AEC，△BDE均为等腰三角形，则∠BAC=

 

°．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：由△ABC，△ABE，△AEC是等腰三角形，得出四边形ABEC是菱形，进而得出BD=DC，AD=DE，根据△BDE为等腰三角形，∠BDE=90°，得出AE=BC，从而证得四边形ABEC是正方形，即可求得∠BAC=90°

解答：解：①E在线段AD上时，
∵△BDE均为等腰三角形，
∴∠BED=45°，
∵△ABE，△AEC均为等腰三角形，
∴∠BAE=∠ABE=∠CAE=∠ACE，
∴∠BED=2∠BAE，
∴∠BAC=45°；
②E在AD延长线上且AB=BE时，
∵△ABE，△AEC是等腰三角形，AB=AC，
∴AB=AC=BE=EC，
∴四边形ABEC是菱形，
∴BD=DC，AD=DE，
∵△BDE为等腰三角形，∠BDE=90°，
∴BD=DE，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是正方形，
∴∠BAC=90°；
③E在AD延长线上且AE=BE时，
∵△BDE均为等腰三角形，
∴∠BED=45°，
∵△ABE，△AEC均为等腰三角形，
∴∠BAE=∠ABE=∠CAE=∠ACE，
∴∠BAE=

1

2

（180°-BAE）=

1

2

（180°-45°），
∵∠BAC=2∠BAE=180°-45°=135°
∴∠BAC=135°
故答案为45或90或135．

点评：本题考查等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质．