Question

已知二次函数y=-x²+（m-3）x+m．
（1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，5），求出顶点坐标，并画出该函数图象．

Answer 1

分析：（1）证明对应的一元二次方程-x²+（m-3）x+m=0的根的判别式大于0，即可作出判断；
（2）把x=0，y=5代入抛物线的解析式，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，得到函数的解析式，然后把解析式化成顶点式的形式，即可求解．

解答：证明：（1）令y=0，-x²+（m-3）x+m=0
a=-1，b=m-3，c=m
b²-4ac=（m-3）²-4×（-1）m=m²-2m+9
=（m-1）²+8
∵（m-1）²≥0
∴（m-1）²+8＞0  
∴b²-4ac＞0
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）把x=0，y=5代入
∴m=5，
∴y=-x²+2x+5=-（x-1）²+6
顶点坐标：（1，6）．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，以及待定系数法求函数的解析式，正确理解抛物线与x轴的交点的判定方法是关键．