Question

如果一个数的平方等于-1，记作i²=-1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3-5i）=（2+3）+（1-5）i=5-4i，
（5+i）×（3-4i）=5×3+5×（-4i）+i×3+i×（-4i）=15-20i+3i-4×i²=15-17i-4×（-i）=19-17i
（1）化简：i³=

 

，i⁴=

 

；
（2）计算：（3+i）²；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将

2+i

2-i

化简成a+bi的形式．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：新定义

分析：由题意i²=-1，很容易求得（1），（2）中完全平方后代入很容易得到．（3）利用平方差公式分母有理化，很容易去掉分母，利用已知条件代入而得．

解答：解：（1）i³=-i，i⁴=1；

（2）（3+i）²
=9+6i+i²
=8+6i；

（3）

2+i

2-i

=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

3+4i

5

=

3

5

+

4

5

i．

点评：此本题考查了复数的运算，根据已知条件来计算代入，（1）代入很简单，（2）完全平方后代入得，（3）利用平方差公式很容易解答．