Question

(1)如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE＋CF＞EF.

②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；

(2)如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． 　　又∵BD＝CD，∠BDG＝∠FDC 　　∴△BDG≌△CDF 　　∴BG＝CF 　　又∵DE⊥DF 　　∴EG＝EF 　　在△EBG中，BE＋BG＞EG 　　即BE＋CF＞EF 　　②∵∠A＝90° 　　∴∠ABC＋∠C＝90° 　　∵∠DBG＝∠C 　　∴∠ABC＋∠DBG＝90° 　　在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2 　　即BE2＋CF2＝EF2 　　(2) 　　延长AB至点G，使得BG＝FC． 　　∵∠ABD＋∠C＝180°，∠ABD＋∠1＝180° 　　∴∠1＝∠C 　　又∵DB＝DC 　　∴△BGD≌△CFD 　　∴∠2＝∠3 　　∵∠EDF＝60° 　　∴∠3＋∠4＝60° 　　∴∠2＋∠4＝60° 　　即∠EDG＝60° 　　∵DE＝DE，∠EDG＝∠EDF，DG＝DF 　　∴△GDE≌△FDE 　　∴EF＝EG＝EB＋BG 　　即EF＝EB＋CF 　　(其它方法请参照给分)