题目内容

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=- $数学公式$ x²+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

解：（1）如答图1，连接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴B（0， $\text{[math]}$ ）
将A（3，0），B（0， $\text{[math]}$ ）代入二次函数的表达式
得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．

（2）存在．

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P₁，P₂．
∵B（0， $\text{[math]}$ ），O（0，0），
∴直线l的表达式为y= $\text{[math]}$ ．代入抛物线的表达式，
得- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
解得x₁=1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或x₂=1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴P₁（1- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或P₂（1+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（x_m，y_m），
则S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA-S_△OAB
= $\text{[math]}$ （MH+OB）•OH+ $\text{[math]}$ HA•MH- $\text{[math]}$ OA•OB
= $\text{[math]}$ （y_m+ $\text{[math]}$ ）x_m+ $\text{[math]}$ （3-x_m）y_m- $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ x_m+ $\text{[math]}$ y_m- $\text{[math]}$
∵y_m=- $\text{[math]}$ x_m²+ $\text{[math]}$ x_m+ $\text{[math]}$ ，
∴S_△MAB= $\text{[math]}$ x_m+ $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ x_m²+ $\text{[math]}$ x_m+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ x_m²+ $\text{[math]}$ x_m
= $\text{[math]}$ （x_m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当x_m= $\text{[math]}$ 时，S_△MAB取得最大值，最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．
点评：本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线/勾股定理、面积求法等知识点．第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．本题考查知识点较多，要求同学们对所学知识要做到理解深刻、融会贯通、灵活运用，如此方能立于不败之地．