Question

8．已知A（-2，3），B（-4，6），在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则点P坐标为（-$\frac{8}{3}$，0）；在y轴上找一点Q，使BQ-AQ最大，Q点的坐标为（0，0）．

Answer 1

分析 找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，则P点即为所求，再根据点P在x轴上的位置得出P点坐标即可；连接AB与y轴交于点Q，则Q点即为所求，再根据Q点在y轴上的位置得出Q点坐标即可．

解答 解：①找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，此时PA=PA′，PA+PB=PA′+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则A′B就是PA+PB最小值．
∵A（-2，3），
∴A′（-2，-3），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{-4k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{2}}\\{b=-12}\end{array}\right.$
∴直线A′B的解析式为y=-$\frac{9}{2}$x-12．
令y=0，则0=-$\frac{9}{2}$x-12．解得x=-$\frac{8}{3}$，
∴P（-$\frac{8}{3}$，0）；
②连接AB交y轴于Q，此时BQ-AQ=AB，根据两边之差小于第三边，则AB就是BQ-AQ最大值；
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{-4m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x，
∴Q（0，0）．
故答案为（-$\frac{8}{3}$，0）、（0，0）．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．