Question

在△ABC中，AC=BC，点O为底边AB中点，点D为AC腰上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD，垂足为点E，连结EO．
（1）如图1，求证：∠OEB=

1

2

∠ACB；
（2）如图2，当∠ACB=90°时，连接AE，若∠AEO=90°，请你探究线段DE与EO之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：四点共圆,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）取BC的中点P，连接PO、PE、CO，如图1．要证∠OEB=

1

2

∠ACB，只需证∠OEB=∠BCO，只需证C、E、O、B四点共圆，只需证PE=PO=PC=PB即可．
（2）过点A作AM⊥BD于M，过点O作ON⊥BD于N，连接CO，如图2．由C、E、O、B四点共圆可得∠OEB=45°，从而可得AE=

2

AM=

2

EM，EO=

2

EN=

2

ON．易证△BNO∽△BMA，根据相似三角形的性质可得AM=2ON，进而有AE=2EO．易证△AMD∽△AEO，根据相似三角形的性质可得AM=2DM，就可得到MD=ED=

1

2

ME=

1

2

AM=ON，进而有EO=

2

ON=

2

ED．

解答：解：（1）证明：取BC的中点P，连接PO、PE、CO，如图1．
∵CA=CB，点O是AB的中点，
∴∠ACO=∠BCO=

1

2

∠ACB，CO⊥AB．
∵CE⊥DB，CO⊥AB，
∴∠CEB=∠COB=90°．
∵点P是BC的中点，
∴PE=PO=PC=PB=

1

2

BC，
∴点C、E、O、B在以点P为圆心，PO为半径的圆上，
∴∠OEB=∠BCO，
∴∠OEB=

1

2

∠ACB．

（2）EO=

2

DE．
证明：过点A作AM⊥BD于M，过点O作ON⊥BD于N，连接CO，如图2．
∵C、E、O、B四点共圆，
∴∠OEB=∠BCO=

1

2

∠ACB=45°．
∵AM⊥BD，ON⊥BD，
∴∠AME=∠ONE=90°，
∴∠MAE=∠MEA=∠EON=∠OEN=45°，
∴AE=

2

AM=

2

EM，EO=

2

EN=

2

ON．
∵∠AME=∠ONB=90°，
∴ON∥AM，
∴△BNO∽△BMA，
∴

ON

AM

=

OB

AB

=

1

2

，
∴AM=2ON，
∴AE=2EO．
∵∠MAE=∠CAO=45°，
∴∠MAD=∠EAO．
∵∠M=∠AEO=90°，
∴△AMD∽△AEO，
∴

AM

DM

=

AE

OE

=2，
∴AM=2DM，
∴AM=ME=2DM，
∴MD=ED=

1

2

ME=

1

2

AM=ON，
∴EO=

2

ON=

2

ED．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，综合性比较强，难度比较大，证到∠OEB=45°及△AMD∽△AEO是解决第（2）小题的关键．