Question

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请直接写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，直接写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（1，0），点P运动速度每秒钟1个单位长度；（2）10，C（14，12）；（3）当时， P（，）；（4）或

【解析】

试题分析：（1）仔细观察图形的特征结合图象的性质即可求得结果；

（2）过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，，即可求得AF的长，在Rt△AFB中，根据勾股定理即可求得正方形的边长，过点作⊥轴于点，与的延长线交于点，先证得△ABF≌△BCH，根据全等三角形的性质即可求得点C的坐标；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF，根据相似三角形的性质可表示出，即可得到，设△OPQ的面积为（平方单位），根据三角形的面积公式即可得到S关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；

（4）根据等腰三角形的性质结合图形的特征即可求得结果.

（1）由题意得点开始运动时的坐标为（1，0），点P运动速度每秒钟1个单位长度；

（2）过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．

∴．

在Rt△AFB中， 

过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．

∵ 

∴△ABF≌△BCH．

∴．

∴．

∴所求C点的坐标为（14，12）；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF．

∴．  

．

∴．  

∴．

设△OPQ的面积为（平方单位）

∴（0≤≤10）

∵<0  

∴当时，△OPQ的面积最大．

此时P的坐标为（，）．

（4）当 或时，有OP=PQ．

考点：动点的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．