Question

3．如图（a）所示，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB=CD．

（1）求证：BD平分EF（即EG=FG）．
（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图（b）所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明BD平分EF（即EG=FG），可证明EG与FG所在的三角形全等（即证明△EGD≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF与∠DGE是对顶角的条件，所以解决问题的关键是证明有一条边相等（DE=BF），可通过证明△EDC与△FBA全等来实现，说明△EDC≌△FBA，通过AE=CF证明CE=AF是关键；
（2）平移后△EDC与△FBA仍然相似，可仿照（1）进行推理证明．

解答 解：（1）∵AE=CF，EF=EF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFG=90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CED．
∴ED=BF，
∵在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠BGF}\\{∠DEG=∠BFG}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，即BD平分EF．
（2）BD仍然平分EF．
理由：∵AE=CF，EF=EF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFG=90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CED．
∴ED=BF，
∵在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠BGF}\\{∠DEG=∠BFG}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，即BD平分EF

点评 本题考查了三角形的判定和三角形的性质．解决本题亦可连接EB、FD，证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质说明BD平分EF．