Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的相等数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=

3

5

，AK=2

5

，求FG的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）KG²=KD•GE．如图2，连接GD．利用平行线的性质和圆周角定理得到∠KGD=∠E．又由（1）知∠KGE=∠GKE，则△GKD∽△EGK，所以由相似三角形的对应边成比例得到

KG

GE

=

KD

KG

，即KG²=KD•GE；
（3）如图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

解答：解：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）KG²=KD•GE．理由如下：
如图2，连接GD．
∵AC∥EF，
∴∠C=∠E．
又∵∠C=∠AGD，
∴∠KGD=∠E．
又∵由（1）知∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴

KG

GE

=

KD

KG

，即KG²=KD•GE；

（3）连接OG，OC，如图3所示．
sinE=sin∠ACH=

3

5

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，解得t=

2

．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25

6

t=

25 2

6

．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

25 2

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

=

25 2 6

4 3

=

25 2

8

．

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．