Question

已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG=OH；
②连接OP，若AP=4，OP=

2

，求AB的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF=90°，再求出∠APB=90°，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，对角线平分一组对角可得∠ABO=∠DAO=45°，然后求出∠OAG=∠OBH，再利用“角边角”证明△OAG和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH；
②过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，根据全等三角形对应角相等可得∠OGA=∠OHB，再利用“角角边”证明△OGM和△OHN全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMPN是正方形，根据正方形的性质求出PM=OM=1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB即可．

解答：（1）解：AE⊥BF．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠BAD=∠D=90° AF=DE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠DAE=∠ABF，
∵∠DAE+∠PAB=∠BAD=90°，
∴∠PAB+∠ABF=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF；

（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，∠ABO=∠DAO=45°，
∵∠DAE=∠ABF（已证），
∴∠ABO-∠ABF=∠DAO-∠DAE，
即∠OAG=∠OBH，
在△OAG和△OBH中，

∠OAG=∠OBH OA=OB ∠AOB=∠AOG=90°

，
∴△OAG≌△OBH（ASA），
∴OG=OH；

②解：如图2，过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，
∵△OAG≌△OBH（已证），
∴∠OGA=∠OHB，
在△OGM和△OHN中，

∠OMG=∠ONH=90° ∠OGA=∠OHB OG=OH

，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∵OP=

2

，
∴PM=OM=

2

×

2

2

=1，
∵AP=4，
∴AM=AP+PM=4+1=5，
在Rt△AOM中，OA=

AM2+OM2

=

52+12

=

26

，
∴正方形ABCD的边长AB=

2

OA=

2

×

26

=2

13

．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以OP为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．