Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？

（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值； 若不存在，请说明理虫：

（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t的值为0或3或；（2）t=1秒（3）t=或t=；（4）存在：t=．

【解析】试题分析：先由运动得出AP=t，DQ=2t，AB=5，BP=5-t，BQ=8-2t，（0≤t≤4）
（1）先由锐角三角函数得出sin∠ABD= ，cos∠ABD=，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）先求出菱形的面积，再用三角函数得出PE，再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程，解方程即可得出结论；
（3）先判断出△BPQ∽△DQA，得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（4）先判断出△BMN∽△BCD，得出 ，即可求出MN=2，BN=，再判断出△BPQ∽△NMQ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．

试题解析：

由运动知，AP=t，DQ=2t，

∵AB=5，BD=8，

∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）

（1）如图，

连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=BD=4，

在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，

根据勾股定理得，OA=3，

sin∠ABD=，cos∠ABD=，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴①如图1，BP=PQ

过点P作PE⊥OD于E，

∴BE=BQ=4﹣t，

在Rt△BPE中，cos∠ABD=，

∴t=0，

②如图2，BP=BQ，

∴5﹣t=8﹣2t，

∴t=3，

③如图3，BQ=PQ，

过点Q作QE⊥AB于E，

∴BE=BP=（5﹣t），

在Rt△BEQ中，cos∠ABD=，

∴t=，

即：△BPQ是等腰三角形时，t的值为0或3或；

（2）如图4，

由（1）知，AC=2OA=6，

∵BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=24，

过点P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD= ，

∴，

∴PE=（5﹣t），

∴S△BPQ=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），

∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的，

∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，

∴t=8（舍）或t=1秒，

（3）如图5，

∵∠ABD=∠AQP，

∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，

∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，

∴∠BPQ=∠DQA，

∵BD是菱形ABCD的对角线，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△BPQ∽△DQA，

∴，

∴，

∴t= 或t=；

（4）存在：理由：如图6，过点M作MN∥CD交BD于N，

∴MN∥BP，

∵BM：CM=2：3，且BC=5，

∴BM=2，

∵MN∥CD，

∴△BMN∽△BCD，

∴ ，

∴，

∴MN=2，BN=，

∵BQ=8﹣2t，

∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，

∵MN∥BP，

∴△BPQ∽△NMQ，

∴ ，

∴ ，

∴5t2﹣47t+100=0，

∴t= （舍去）或t=．