Question

如图，△ABC的周长为L，面积为S，△ABC的三边中点组成△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁的三边中点组成△A₂B₂C₂，如此进行下去，得到△A_nB_nC_n，则△A_nB_nC_n的周长为

 

，面积为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：规律型

分析：根据三角形中位线定理可求得三边的长，从而不难求得△A₁B₁C₁的周长，同理可求得另一三角形的周长，以此类推，从而可以发现规律；由于A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，就可求出S△A₁B₁C₁=

1

4

，同样地方法得出S△A₂B₂C₂=

1

16

，S△A₃B₃C₃=

1

64

…所以就可以求出S△A_nB_nC_n的值．

解答：解：如图所示：
∵A₁B₁，B₁C₁，A₁C₁是△ABC的三条中位线，
∴A₁B₁=

1

2

AB，A₁C₁=

1

2

AC，C₁B₁=

1

2

CB，
∴△A₁B₁C₁的周长=

1

2

（AB+AC+CB）=

1

2

L．
同理：A₂B₂C₂的周长为

1

4

L，△A₃B₃C₃的周长为

1

8

L，
∴△A_nB_nC_n的周长为

1

2n

L；
∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=S
∴S_△A1B1C1=

1

4

S．
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比为

1

2

∴S_△A2B2C2=

1

16

S．依此类推
∴S_△A3B3C3=

1

64

…
∴S_△AnBnCn=

1

22n

．
故答案为：

1

2n

L，

1

22n

S．

点评：本题考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．